2022-2023學年山東省煙臺市高一（下）期末數學試卷（含答案）

2022-2023學年山東省煙臺市高一（下）期末數學試卷

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的。

1.（5分）（2021春?煙臺期末）空間中，如果兩個角的兩條邊分別對應平行，那么這兩個角

（）

A.相等B.互補C.相等或互補D.不能確定

2.（5分）（2021春?煙臺期末）拋擲一枚質地均勻的正六面體骰子，其六個面分別標有數字

1,2,3,4,5,6,觀察朝上一面的點數，設事件A=“點數為奇數"，B="點數為4”，

則A與5的關系為（）

A.互斥B.相等C.互為對立D.相互獨立

3.（5分）（2021春?煙臺期末）已知一個水平放置的三角形的斜二測直觀圖的面積為1,那

么原三角形的面積為（）

A.V2B.2C.2夜D.4

4.（5分）（2021春?煙臺期末）某學校采用分層隨機抽樣方法，抽取一定數量的高中學生參

加安全知識競賽.若得到的樣本中高二的學生數量比高一多40人、比高三少20人，且全校

高一、高三學生數之比為2:3,則樣本容量為（）

A.120B.160C.180D.460

5.（5分）（2021春?煙臺期末）某人有3把鑰匙，其中僅有一把能打開門.如果他每次都隨

機選取一把鑰匙開門，不能打開門時就扔掉，則他第二次才能打開門的概率為（）

A.-B.-C.-D.-

2368

6.（5分）（2021春?煙臺期末）已知機，〃表示兩條不同的直線，a,6表示兩個不同的

平面，貝M）

A.若mila,m±n,貝！B.若加〃a,/31a,則

C.若〃_Lc,則D.若mlI/3>則a//￡

7.（5分）（2021春?煙臺期末）給定數據：10,12,17,25,50,75,則其第30百分位數、

第50百分位數分別為（）

A.11,17B.11,21C.12,17D.12,21

8.（5分）（2021春?煙臺期末）在如圖所示的三棱錐容器S—ABC中，D,E,尸分別為

三條側棱上的小洞，SD:DA=CF:FS=2A,BE=SE,若用該容器盛水，則最多可盛水

的體積是原三棱錐容器體積的（）

7C25

9-3-D.9-

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合

題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。

9.（5分）（2021春?煙臺期末）下列說法正確的有（）

A.兩條相交直線確定一個平面

B.平行于同一平面的兩條直線平行

C.標準差刻畫了一組數據的離散程度或波動幅度

D.若某種獎券的中獎率為0.1,則抽獎10次必有一次中獎

10.（5分）（2021春?煙臺期末）已知圓錐的底面半徑為1,高為2聲，S為頂點，A,B為

底面圓周上兩個動點，則（）

A.圓錐的體積為2夜乃

B.圓錐的側面展開圖的圓心角大小為27

3

C.圓錐截面的面積的最大值為2夜

D.從點A出發繞圓錐側面一周回到點A的無彈性細繩的最短長度為3小

11.（5分）（2021春?煙臺期末）在正方體AB8-A4GR中，點。為線段AQ上一動點,

則（)

A.對任意的點。，都有8QLCQ

B.三棱錐8-8CQ的體積為定值

C.當Q為4口中點時，異面直線B?與3C所成的角最小

D.當。為4Q中點時，直線片。與平面BCG4所成的角最大

12.（5分）（2021春?煙臺期末）算盤是我國古代一項偉大的發明，是一類重要的計算工具.如

圖是一把算盤的初始狀態，自右向左，分別表示個位、十位、百位、千位.......上面一

粒珠子（簡稱上珠）代表5,下面一粒珠子（簡稱下珠）代表1,五粒下珠的大小等于同組

一粒上珠的大小.例如，個位撥動一粒上珠、十位撥動一粒下珠至梁上，表示數字15.現

將算盤的個位、十位、百位、千位分別隨機撥動一粒珠子至梁上，設事件A="表示的四

位數能被3整除"，B="表示的四位數能被5整除"，貝4（）

31IIq

A.P（A）=-B.P（B）=-C.=—D.P（AB）=—

83J1616

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.（5分）（2021春?煙臺期末）甲、乙兩人打靶，已知甲的命中率為0.8,乙的命中率為

0.7,若甲、乙分別向同一靶子射擊一次，則該靶子被擊中的概率為一.

14.（5分）（2021春?煙臺期末）已知一個長方體共頂點的三個面的面積分別為2,3,4,

則其體對角線長度為—,

15.（5分）（2021春?煙臺期末）類比是研究數學問題的重要方法之一.數學家波利亞曾說:

“求解立體幾何問題往往有賴于平面幾何中的類比問題在平面幾何里，研究三角形三邊

長度間的關系，有勾股定理：“設AABC的兩邊ABJLAC,則48?+AC?=BC?."拓展至空

間，類比研究三棱錐的側面面積與底面面積間的關系，可以得出的正確結論是：“設三棱錐

A-3CD的三個側面ABC,ACD,4M兩兩互相垂直，則.

16.（5分）（2021春?煙臺期末）在三棱錐P-ABC中，面RAfiJ.面ABC,

PA=PR=AB=AC^1,ABAC=-,則該三棱錐外接球的表面積為

2----

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（10分）（2021春?煙臺期末）如圖，在空間四邊形中，E,F,G,H分別為

棱Afi,AD,CD,3c的中點.

（1）求證：四邊形EFGH為平行四邊形；

（2）當對角線AC與3D滿足什么條件時，四邊形"6〃為正方形？（給出一個滿足題意

的條件即可，不必證明）.

18.（12分）（2021春?煙臺期末）某快餐配送平臺針對外賣員送餐準點情況制定了如下的考

核方案：每一單自接單后在規定時間內送達、延遲5分鐘內送達、延遲5至10分鐘送達、

其他延遲情況，分別評定為A,B,C,3四個等級，各等級依次獎勵3元、獎勵。元、

罰款3元、罰款6元.假定評定為等級A,B,C的概率分別是之，.

4832

（1）若某外賣員接了一個訂單，求其延遲送達且被罰款的概率；

（2）若某外賣員接了兩個訂單，且兩個訂單互不影響，求這兩單獲得的獎勵之和為0元的

概率.

19.（12分）（2021春?煙臺期末）為調查高一、高二學生心理健康達標情況，某學校采用分

層隨機抽樣方法，從高一、高二學生中分別抽取了50人、40人參加心理健康測試（滿分:

10分）.經初步統計，參加測試的高-學生成績=2,3,…，50）的平均分元=7.4,

方差5；=2.6,高二學生的成績%（i=l,2,3,…，40）的統計表如下：

成績y456789

頻數3711964

（1）計算參加測試的高二學生成績的平均分歹和方差s：:

（2）估計該學校高一、高二全體學生的平均分7和方差S；.

20.（12分）（2021春?煙臺期末）如圖，在直三棱柱A8C=4線G中，440=90。，

A4,=AC=1.

（1）求證：；

（2）若AC與平面8CCg所成角的正弦值為華，求三棱錐A-48C的體積.

21.（12分）（2021春?煙臺期末）《中華人民共和國民法典》于2021年1月1日正式施行.某

社區為了解居民對民法典的認識程度，隨機抽取了一定數量的居民進行問卷測試（滿分：100

分），并根據測試成績繪制了如圖所示的頻率分布直方圖.

（1）求頻率分布直方圖中，"的值；

（2）估計該組測試成績的平均數和第57百分位數；

（3）該社區在參加問卷且測試成績位于區間［80,90）和［90,100］的居民中，采用分層隨

機抽樣，確定了5人.若從這5人中隨機抽取2人作為該社區民法典宣講員，設事件人="兩

人的測試成績分別位于［80,90）和［90,100］”，求P（A）.

22.（12分）（2021春?煙臺期末）如圖，在梯形中，AE=ED=BE=2BC=2,ADIIBC,

ADX.BE,將AAfiE沿8E折起，形成四棱錐A-3a區.

（1）若點M為4）的中點，求證：C0//平面45E;

（2）在四棱錐A-3CAE中，4）=2,求面ABE與面ACE＞所成二面角（銳角）的余弦值.

2022-2023學年山東省煙臺市高一（下）期末數學試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的。

1.（5分）（2021春?煙臺期末）空間中，如果兩個角的兩條邊分別對應平行，那么這兩個角

（）

A.相等B.互補C.相等或互補D.不能確定

【解答】解：如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行，并且方向相同，那么這兩個角

相等；

如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行，并且一組邊方向相同、一組邊方向相反，那

么這兩個角互補；

如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行，并且方向相反，那么這兩個角相等.

，如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行，那么這兩個角相等或互補.

故選：C.

2.（5分）（2021春?煙臺期末）拋擲一枚質地均勻的正六面體骰子，其六個面分別標有數字

1,2,3,4,5,6,觀察朝上一面的點數，設事件A=“點數為奇數”，B="點數為4”，

則A與8的關系為（）

A.互斥B.相等C.互為對立D.相互獨立

【解答】解：拋擲一枚質地均勻的正六面體骰子，其六個面分別標有數字1,2,3,4,5,

6,

觀察朝上一面的點數，設事件A=“點數為奇數”，B="點數為4”，

則事件A與B不能同時發生，但能同時不發生，

故A與5是互斥事件.

故選：A.

3.（5分）（2021春?煙臺期末）已知一個水平放置的三角形的斜二測直觀圖的面積為1,那

么原三角形的面積為（）

A.V2B.2C.20D.4

【解答】解：因為9皿=2",

s直觀圖

所以S原囹=2"xl=2".

故選：C.

4.（5分）（2021春?煙臺期末）某學校采用分層隨機抽樣方法，抽取一定數量的高中學生參

加安全知識競賽.若得到的樣本中高二的學生數量比高一多40人、比高三少20人，且全校

高一、高三學生數之比為2:3,則樣本容量為（）

A.120B.160C.180D.460

【解答】解：設樣本中高一學生數為2x,則高三學生數為3x,

?.?得到的樣本中高二的學生數量比高一多40人、比高三少20人，

.\2x+40=3x—20,

解得x=60,

高一學生數為2x=120,

高二學生數為2x+40=160,

高三學生數為3x=180.

樣本容量為：120+160+180=460.

故選：D.

5.（5分）（2021春?煙臺期末）某人有3把鑰匙，其中僅有一把能打開門.如果他每次都隨

機選取一把鑰匙開門，不能打開門時就扔掉，則他第二次才能打開門的概率為（）

A1R1r1D1

2368

【解答】解：第二次才能打開門是指第一次沒有打開門，第二次打開門，

所以第二次才能打開門的概率為P=2x!=■!■.

323

故選：B.

6.（5分）（2021春?煙臺期末）已知〃表示兩條不同的直線，a,夕表示兩個不同的

平面，貝心）

A.若mI/a,則〃_LaB.若m//a,。工a,則

C.若m//a,,則機_L〃D.若m」/a,mlIP>則a///

【解答】解：若mI/a,機_L〃，則或〃//a或〃與。相交，故A錯誤；

若mlla,/3La,則mu/?或〃?///或相與尸相交，故3錯誤；

若〃，a,則〃垂直所有與a平行的直線，又mlla,所以〃故C正確;

若/〃//c,，*//￡,則a//￡或a與尸相交，故￡）錯誤.

故選：C.

7.（5分）（2021春?煙臺期末）給定數據：10,12,17,25,50,75,則其第30百分位數、

第50百分位數分別為（）

A.II,17B.11,21C.12,17D.12,21

【解答】解：?.?6x3O%=L8,??.第30百分位數是第二個數12；

?.?6x5O%=3,.?.第50百分位數是第三個數17與第四個數25的平均數21.

故選：D.

8.（5分）（2021春?煙臺期末）在如圖所示的三棱錐容器S-ABC中，D,E,F分別為

三條側棱上的小洞，SD:DA=CF:FS=2A,BE=SE,若用該容器盛水，則最多可盛水

的體積是原三棱錐容器體積的（）

8725

A.9-B.-93-D.9-

7

【解答】解：因為SD:D4=2:1,所以SD=±SA,

3

又因為3E=SE,所以SE=LS8,

2

所以ASDE的面積為：

SQD.=gSD-SE-sinZASB=gx：SAx[SBxsinZASB=gSMAB.

又CF:ES=2:1,所以SF:SC=1:3,

設點P,C到平面SAB的距離分別為九，%,

所以九：4=1:3,

所以^F-SDE：匕-皿=g'U

所以這個容器最多可盛原三棱錐容器的1-』二§.

99

故選：A.

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合

題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。

9.（5分）（2021春?煙臺期末）下列說法正確的有（）

A.兩條相交直線確定一個平面

B.平行于同一平面的兩條直線平行

C.標準差刻畫了一組數據的離散程度或波動幅度

D.若某種獎券的中獎率為0.1,則抽獎10次必有一次中獎

【解答】解：對于A:

如圖任取直線。上與O不重合的另一點尸，直線6上與。不重合的另一點。，

則點O,P,Q三點不共線，公里2：不在同一條直線上的三點可以確定一個平面，

所以過點O,P,。有且只有一個平面

由Owe,Peer.結合公里一可得：aua,同時，ua,

所以過兩條相交直線a,6有且只有一個平面a,即兩條相交直線確定一個平面，故A正確；

對于8：平行于同一平面的兩條直線平行，相交，異面，故8錯誤；

對于C：標準差刻畫了一組數據的離散程度或波動幅度，故C正確；

對于。：若某種獎券的中獎率為0」，只能表示抽一次中獎的可能性為0.1,不能表示抽獎

10次必有一次中獎，故。錯誤；

故選：AC.

10.（5分）（2021春?煙臺期末）已知圓錐的底面半徑為1,高為2人，S為頂點，A,B為

底面圓周上兩個動點，則（）

A.圓錐的體積為2VLr

B.圓錐的側面展開圖的圓心角大小為士開

3

C.圓錐截面SA8的面積的最大值為2及

D.從點A出發繞圓錐側面一周回到點A的無彈性細繩的最短長度為36

【解答】解:因為圓錐的底面半徑為1,高為2啦，所以圓錐的母線長SM=Jl+（2揚2=3,

則：

對于A,圓錐的體積V=xFx2>/5=述不，故A錯；

33

O-rr

對于8,設圓錐的側面展開圖的圓心角大小為a,則2%xl=ax3,a=——，故8正確；

3

對于C,當圓錐截面SAB為圓錐的軸截面時，其面積最大值，最大值為Lx2x2a=2夜，

2

故正確；

對于D,從點A出發繞圓錐側面一周回到點A的無彈性細繩的最短長度為圓錐展開圖中線

段儀的長度，AAi=2ASsin60°=3y/3.故￡>正確.

故選：BCD.

11.（5分）（2021春?煙臺期末）在正方體ABCO-AgCQ中，點。為線段上一動點,

A.對任意的點。，都有BQJ_CQ

B.三棱錐B-8C。的體積為定值

C.當。為A"中點時，異面直線片。與3C所成的角最小

D.當。為AR中點時，直線用0與平面BCC4所成的角最大

【解答】解：連接BQ,AC,CR,

在正方體A38-A8CR中，底面正方形中，ACrBD,

又8耳_L平面ABC￡>,ACu平面/WCD,

則AC_LB瓦，又q=B,

所以ACL平面B8Q,又BQu平面BBQ,

則AC_L4。，同理可證AQ且=A,

則耳。JL平面ACR,又點。在4R上，則CQu平面ACQ,

故與OJ.C4,故選項A正確；

設點。到平面33c的距離為〃，

由等體積法匕.=%一叫0=亂

BBQ,力9

因為A"http://平面8BCG，

所以〃=至，

V

則Q-BBlc為定值，即三棱錐B-BCQ的體積為定值，

故選項8正確；

在BC、上取點Q1,使得BQ、=AQ,因為ADtUBC、,且AR=BQ,

所以AQ//BQ,且AQ=8Q1,則四邊形A8QQ為平行四邊形，

又A9J?平面4GC8,又BQu平面BCCB,

則AB±BCt,故四邊形ABQ.Q為矩形，

過。作OO|//g8交Bg,BC分別于點01,O,

又B?上平面QQQ|,QOtu平面QQQ,

則BQ1QO],

又NQBR為B、Q與B￡所成的角，

又因為BC//BC,BtC,=BC,

則NQ8Q為耳。與BC所成的角，設為。，

設正方體的棱長為1,BR=x,則BO=OQ=x(噫收1),

則O,e2=O.Q2+QQ;=(1-x)2+1=/-2x+2,

當x*0時，tana=能=J1二2"2_如)+]=卜(工-9+1,

B,0,Vx2Vxx\x22

因為0<%,1,所以L.1,

X

故當』=1,即x=l時，tana取最小值，則a取最小值45。，這時。與2重合,

X

當x=0時，。與A重合，此時a=90。，

綜上所述，當Q與A重合時，異面直線用。與8c所成的角最小，

故選項C錯誤；

當Q為4A的中點時，為BG的中點，Qi為00的中點，

又因為B、Q與平面8CG與所成的角為NQB?,設NQBQ=fl,

則tan￡=2=」一,

BQBQ

又B，Q：=x2+(l-x)2=2X2-2X+1,

故當x時，耳Q；取得最小值，貝han尸取得最大值，故/?最大，

所以當。為AR中點時，直線8?與平面8CC4所成的角最大，

故選項。正確.

故選：ABD.

12.(5分)(2021春?煙臺期末)算盤是我國古代一項偉大的發明，是一類重要的計算工具.如

圖是一把算盤的初始狀態，自右向左，分別表示個位、十位、百位、千位......上面一

粒珠子(簡稱上珠)代表5,下面一粒珠子(簡稱下珠)代表1,五粒下珠的大小等于同組

一粒上珠的大小.例如，個位撥動一粒上珠、十位撥動一粒下珠至梁上，表示數字15.現

將算盤的個位、十位、百位、千位分別隨機撥動一粒珠子至梁上，設事件4="表示的四

位數能被3整除"，B="表示的四位數能被5整除"，貝心)

梁7卜一上珠

檔一

框、下珠

311I3

A.P(A)=-B.P(B)=-C.P(A|j8)=lD.P(AB)=—

83J1616

【解答】解：現將算盤的個位、十位、百位、千位分別隨機撥動一粒珠子至梁上，

基本事件總數“=24=16,

設事件A=”表示的四位數能被3整除”，

事件A包含的四位數有：1155,1515,1551,5511,5115,5151,共6個，

P(A)=—=—,故A正確；

168

B="表示的四位數能被5整除”，

事件8包含的基本事件有:1115,1155,1515,1555,5555,5115,5155,5515,共8個,

：.P(B)=包=2，故8錯誤；

162

事件A|J8包含的基本事件有：

1155,1515,1551,5511,5115,5151,1115,1555,5555,5155,5515,共11個,

???見或七,故C正確；

AB包含的基本事件有：1155,1515,1551,5115,共3個,

3

:.P（AB）=—,故。正確.

16

故選：ACD.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.（5分）（2021春?煙臺期末）甲、乙兩人打靶，已知甲的命中率為0.8,乙的命中率為

0.7,若甲、乙分別向同一靶子射擊一次，則該靶子被擊中的概率為0.94.

【解答】解：甲、乙兩人打靶，甲的命中率為0.8,乙的命中率為0.7,

甲、乙分別向同一靶子射擊一次，

則該靶子被擊中的對立事件為甲乙兩人都沒有擊中，

??.該靶子被擊中的概率為：

P=l-（1-0.8）（1-0.7）=0.94.

故答案為：0.94.

14.（5分）（2021春?煙臺期末）已知一個長方體共頂點的三個面的面積分別為2,3,4,

則其體對角線長度為也.

一6-

【解答】解：設此長方體的棱長分別為。,b,c,則必=2,bc=3,ac=4,可得出?。=2遍，

解得〃=燉，b=旦,C=娓,

32

這個長方體的對角線長1=J（半）2+（乎）2+（后=等.

故答案為：叵.

6

15.（5分）（2021春?煙臺期末）類比是研究數學問題的重要方法之一.數學家波利亞曾說:

“求解立體幾何問題往往有賴于平面幾何中的類比問題在平面幾何里，研究三角形三邊

長度間的關系，有勾股定理：“設A4BC的兩邊AB_LAC,則A8?+AC?=8C?.”拓展到空

間，類比研究三棱錐的側面面積與底面面積間的關系，可以得出的正確結論是：“設三棱錐

A-3C。的三個側面MC,ACD,4）8兩兩互相垂直，則_S^BC+5^cp+

【解答】解：線的關系類比到面的關系，猜測：5%8=應比+5黑0+5配加.

證明如下：

如圖作AE_LC。連BE,則BELCD.

SBCDBE1=；CD2(AB-+AE2)

=-(AC2+AD2)(AB2+AE2)

4

=^(AC2AB2+AD2AB2+AC2AE2+AD2AE2)

=^(AC2AB2+AD2AB2+CD2AE2)

故答案為：SAQ=S^c+S%,+S〃.

16.(5分)(2021春?煙臺期末)在三棱錐P-ABC中，面PAB±面ABC，

PA=PB=AB=AC=2,ZBAC=-,則該三棱錐外接球的表面積為—

2—3

【解答】解：如圖，

ABAC=-,.'BC的中點E為AABC的外心，

2

?；PA=PB=AB,則A/?由為等邊三角形，設其外心為尸，

分別過E、F作平面84c與平面叢3的垂線，兩垂線相交于O,

則O為三棱錐P-ABC外接球的球心，則OE=-V22-12=—,

33

又EC=LBC=6,

2

OC2=(—)2+(V2)2=-,

33

該三棱錐外接球的表面積為4萬*?=也.

33

故答案為：—.

3

p

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（10分）（2021春?煙臺期末）如圖，在空間四邊形至8中，E,F,G,H分別為

棱他，AD,CD,的中點.

（1）求證：四邊形E尸G”為平行四邊形；

（2）當對角線AC與比>滿足什么條件時，四邊形EFG”為正方形？（給出一個滿足題意

的條件即可，不必證明）.

【解答】解：（1）證明：連接因為E,尸分別為棱AB,的中點,

所以EF//BD,EF=-BD,同理“G//8D,HG=-BD,

22

所以肝//G”且所=G〃，

所以四邊形EFGH是平行四邊形.

（2）當AC_L%）且AC=Q時，四邊形EFG//為正方形.

證明：連接AC,因為E,H分別為AB,8C的中點，

貝U&7//AC,EH=-AC,

2

由（1）可知，EF//BD,EF=>BD,又ACJ_8￡）且AC=8￡）,

2

所以EF工EH且EF=EH,

所以四邊形為正方形.

R

18.（12分）（2021春?煙臺期末）某快餐配送平臺針對外賣員送餐準點情況制定了如下的考

核方案：每一單自接單后在規定時間內送達、延遲5分鐘內送達、延遲5至10分鐘送達、

其他延遲情況，分別評定為A,B,C,。四個等級，各等級依次獎勵3元、獎勵0元、

罰款3元、罰款6元.假定評定為等級A,B,C的概率分別是°,.

4832

（1）若某外賣員接了一個訂單，求其延遲送達且被罰款的概率；

（2）若某外賣員接了兩個訂單，且兩個訂單互不影響，求這兩單獲得的獎勵之和為0元的

概率.

【解答】解：（1）設事件A,B,C,。分別表示''被評為等級A,B,C,D”.

由題意，事件A,B,C,D兩兩互斥,

483232

又C|JO="延遲送達且被罰款”，

所以P（CU。）=P（C）+P（D）=-.

8

因此“延遲送達且被罰款”的概率為

8

（2）設事件兒，B,,C,,。表示“第i單被評為等級A,B,C,D",i=\,2.

則“兩單共獲得的獎勵為0元”即事件（44）u（Aa）U（A2G），

且事件與與，AQ-A2G互斥，

又24為）=:*!=],

oo04

339

又缺@=2（￡）干方=*，

所以尸=PK“2）U（AG）U（4G）]

1995

=P^B）+P（AC）+P^C）=—+.

2i2t6412812832

19.（12分）（2021春?煙臺期末）為調查高一、高二學生心理健康達標情況，某學校采用分

層隨機抽樣方法，從高一、高二學生中分別抽取了50人、40人參加心理健康測試（滿分:

10分）.經初步統計，參加測試的高-學生成績=2,3,…，50）的平均分元=7.4,

方差=2.6,高二學生的成績=2,3,…，40）的統計表如下:

成績y456789

頻數3711964

（1）計算參加測試的高二學生成績的平均分了和方差5：；

（2）估計該學校高一、高二全體學生的平均分0和方差S3

4x3+5x7+6xl1+7x94-8x6+9x4一

【解答】解：（1）由題意可得，y=-----------------；----------------=6.5，

40

222

s；=京[3X(4-6.5)2+7X(5-65)2+llx(6_6.5)+9x(7-6.5)+6x(8—6.5)+4x(9—6.5『]=1.95

(2)由(1)可得,z=—(50x+40j)=—(50x7.4+40x6.5)=7,

s；-—[2.6+(7.4-7)2]+—x[1.95+(6.5-7)2]=—.

20.（12分）（2021春?煙臺期末）如圖，在直三棱柱A8C=A8C中，Zfi4C=90°,

4A=AC=1.

（1）求證：

（2）若AC與平面8CG與所成角的正弦值為半，求三棱錐A-ABC的體積.

【解答】(1)證明：???A8，A4t,ABLAC,ACQ/L4,=A,

平面ACGA，

又ACu平面ACC/，ABVA.C,

又?.?直三棱柱ABC-A與G中，AA,=AC,

，四邊形ACGA為正方形，則AC；_LAC.

■.■AC^AB=A,AC_L平面ABC；,而BC；u平面ABC；,

:.\CIBC,；

（2）解：過4作A￡）_LBC，垂足為。，連C。，則AO_L平面BCGA，幺8為A0與

平面8CC蜴所成的角.

1.?AA,=AC=1,AC=>/2,

.-.sinZ^CD=^=^=—,得40」.

4c1242

AD1

在必△AG。中，???sinNAG￡>=-^—=-，.?.4GD=300?

AG2

在必△A8c中，有4q=AGtan3(r=日.

”,z11,1x/373

Kt-ABC=V?-AAC=Tx-xlx,x-r=77-

□Z□1o

21.（12分）（2021春?煙臺期末）《中華人民共和國民法典》于2021年1月1日正式施行.某

社區為了解居民對民法典的認識程度，隨機抽取了一定數量的居民進行問卷測試（滿分：100

分），并根據測試成績繪制了如圖所示的頻率分布直方圖.

（1）求頻率分布直方圖中，"的值；

（2）估計該組測試成績的平均數和第57百分位數；

（3）該社區在參加問卷且測試成績位于區間［80,90）和［90,100］的居民中，采用分層隨

機抽樣，確定了5